Abbiamo visto che la velocità istantanea può essere scritta come \(\frac{d\vec{r}}{dt}\). Dalla lezione sui moti componenti abbiamo visto che $$ \vec{r}(t)=x(t)\widehat{i}+y(t)\widehat{j}+z(t)\widehat{k} $$ Per trovare la velocità bisogna farne la derivata $$ \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x(t)\widehat{i}+y(t)\widehat{j}+z(t)\widehat{k}) $$ $$ \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x(t)\widehat{i}+y(t)\widehat{j}+z(t)\widehat{k}) $$ $$ \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x(t)\widehat{i}+y(t)\widehat{j}+z(t)\widehat{k}) $$ La derivata è un operatore lineare dunque è possibile fare la somma delle derivate singole $$ \vec{v}=\frac{dx(t)\widehat{i}}{dt}+\frac{dy(t)\widehat{j}}{dt}+\frac{dz(t)\widehat{k}}{dt} $$ $$ \vec{v}=\frac{dx(t)\widehat{i}}{dt}+\frac{dy(t)\widehat{j}}{dt}+\frac{dz(t)\widehat{k}}{dt} $$ $$ \vec{v}=\frac{dx(t)\widehat{i}}{dt}+\frac{dy(t)\widehat{j}}{dt}+\frac{dz(t)\widehat{k}}{dt} $$ Quando deriviamo \(x(t)\widehat{i}\) il versore \(\widehat{i}\) rimane costante nel tempo dunque non va derivato $$ \frac{dx(t)\widehat{i}}{dt}=\frac{dx}{dt}\widehat{i} $$ Stesso discorso vale per le altre due derivate, dunque $$ \vec{v}=\frac{dx}{dt}\widehat{i}+\frac{dy}{dt}\widehat{j}+\frac{dz}{dt}\widehat{k} $$ Ogni vettore può essere scomposto lungo gli assi cartesiani $$ \vec{v}=v_x\widehat{i}+v_y\widehat{j}+v_z\widehat{k} $$ La scomposizione di un vettore è unica e visto che abbiamo scomposto lo stesso vettore in due modi diversi, le componenti devono essere necessariamente le stesse $$ \left\{\begin{matrix} v_x=\frac{dx}{dt} \\ v_y=\frac{dy}{dt} \\ v_z=\frac{dz}{dt} \end{matrix}\right. $$