Un numero complesso è un numero che può apparire nella seguente forma $$ z=a+ib $$ dove \(a\) è la parte reale del numero complesso, \(b\) si chiama parte immaginaria e \(i\) rappresenta l'unità immaginaria, in particolare $$ i=\sqrt{-1}\Rightarrow i^2=-1 $$ Un numero complesso si può rappresentare graficamente mediante il piano di Gauss
Al posto dell'asse x abbiamo quello che si chiama asse reale, invece al posto della y abbiamo l'asse immaginario.
Esiste il coniugato di un complesso, cioè $$ \overline{z}=a-ib $$ Il numero si può scrivere anche sfruttando la sua distanza dal centro e l'angolo che forma con l'asse reale.
$$ z=\rho e^{i\Theta} $$ dove \(\rho\) è il modulo del numero complesso e \(\Theta\) è la fase. Come si trovano modulo e fase di un numero complesso? $$ |z|=\rho=\sqrt{a^2+b^2} $$ $$ |z|^2=a^2+b^2 $$ Per trovare la fase del numero complesso bisogna sfruttare la tangente $$ tg\Theta=\frac{b}{a} $$ $$ \Theta=arctg \frac{b}{a} $$ Se il numero complesso ha modulo pari a \(1\) allora la posizione dipenderà solo dalla fase \(\Theta\) e si troverà sul cerchio unitario del piano di Gauss. $$ z=1\cdot e^{i\Theta} $$ Quando la fase è pari a \(\phi\), si ha che $$ e^{i\phi}=-1\Rightarrow e^{i\phi}+1=0 $$ Se la fase è lineare il numero complesso si sposterà sul cerchio unitario in modo uniforme, come mostrato in figura Ricordiamo la formula più importante nel campo dei complessi cioè la formula di Eulero $$ e^{\pm i\Theta}=cos\Theta \pm isin\Theta $$