Definizioni sui polinomi
Che cos'è un polinomio
Definizione polinomio Un polinomio è una espressione matematica dove abbiamo la somma algebrica di più monomi.
E' fondamentale capire quando siamo difronte ad un polinomio, qui seguito vediamo alcuni esempi:
- \( 2x^2 \) Rappresenta un polinomio perchè costituito da un solo monomio;
- \( x^2+3x+2 \) Rappresenta un polinomio in quanto abbiamo la somma algebrica di tre monomi;
- \( x^2+\sqrt{x} \) Non rappresenta un polinomio perche \(\sqrt{x}\) non è un monomio.
Polinomio scritto in forma normale
Forma normale Un polinomio è scritto in forma normale se non contiene polinomi simili tra di loro, significa che non è possibile effettuare somme tra i monomi presenti all'interno.
Esempi svolti - \( a^2+2b+c-b^3 \) \( a^2+2b+c-b^3 \) \( a^2+2b+c-b^3 \) Questo è un polinomio scritto in forma normale perchè non esistono monomi simili tra di loro.
- \( 2a^2-2b+c-a^2+2c \) \( 2a^2-2b+c-a^2+2c \) \( 2a^2-2b+c-a^2+2c \) Questo polinomio non è scritto in forma normale infatti \(2a^2\) e \(-a^2\) sono due monomi simili, inoltre anche \(c\) e \(2c\) sono monomi simili. Per rendere il polinomio in forma normale bisogna eseguire queste due somme, dunque in forma normale diventa $$ a^2-2b+3c $$
- binomio: polinomio formato da due elementi;
- trinomio: polinomio formato da tre elementi;
- quadrinomio: polinomio formato da quattro elementi;
Grado di un polinomio
Bisogna distinguere il grado complessivo del polinomio e il grado rispetto ad una lettera:
- Il grado complessivo del polinomio è il grado massimo dei monomi che lo compongono;
- Il grado rispetto ad una lettera è il grado massimo rispetto a quella lettera di tutti i monomi.
Esempio svolto \( 3x^2+2x^3y^2-2yz \)
Per prima cosa troviamo il grado complessivo del polinomio
\(2\) è il grado del monomio \(3x^2\)
\(5\) è il grado del monomio \(2x^3y^2\)
\(2\) è il grado del monomio \(-2yz\)
Il grado più alto tra i monomi è \(5\), quindi il grado complessivo del polinomio è \(5\).
Vediamo adesso il grado del polinomio rispetto alla lettera x:
\(2\) è il grado del monomio \(3x^2\) rispetto alla lettera x
\(3\) è il grado del monomio \(2x^3y^2\) rispetto alla lettera x
\(0\) è il grado del monomio \(-2yz\) rispetto alla letera x
Il grado del polinomio rispetto alla lettera \(x\) è \(3\).
Vediamo adesso il grado del polinomio rispetto alla lettera y:
\(0\) è il grado del monomio \(3x^2\) rispetto alla lettera y
\(2\) è il grado del monomio \(2x^3y^2\) rispetto alla lettera y
\(1\) è il grado del monomio \(-2yz\) rispetto alla letera y
Il grado del polinomio rispetto alla lettera \(y\) è \(2\).
Vediamo infine il grado del polinomio rispetto alla lettera z:
\(0\) è il grado del monomio \(3x^2\) rispetto alla lettera z
\(0\) è il grado del monomio \(2x^3y^2\) rispetto alla lettera z
\(1\) è il grado del monomio \(-2yz\) rispetto alla letera z
Il grado del polinomio rispetto alla lettera z è 1.
Polinomio ordinato e completo
Polinomio ordinato Un polinomio si dice ordinato se ,rispetto ad una lettera, gli esponenti hanno un ordine decrescente o crescente.
Esempi svolti - \( a^3+2a^2b-ab^2 \) \( a^3+2a^2b-ab^2 \) \( a^3+2a^2b-ab^2 \) E' ordinato rispetto alla lettera \(a\) in ordine decrescente, infatti gli esponenti da sinistra a destra passano da \(3\) a \(2\) a \(1\). E' anche ordinato rispetto alla lettera \(b\) in ordine crescente, infatti gli esponenti passano da \(0\) a \(1\) a \(2\).
- \( 3+x^2-x^3+2x \) \( 3+x^2-x^3+2x \) \( 3+x^2-x^3+2x \) Questo polinomio non è ordinato in quanto gli esponenti della \(x\) non seguono un ordine. Spostiamo i monomi in modo da ottenere un ordine decrescente da sinistra a destra $$ -x^3+x^2+2x+3 $$ Spostiamo i monomi in modo da ottenere un ordine crescente da sinistra a destra $$ 3+2x+x^2-x^3 $$ Ricordiamo che un numero puro come il \(3\) ha la \(x\) con grado \(0\).
In genere un polinomio viene ordinato rispetto ad una lettera in ordine decrescente. Se non è ordinato basterà spostare i monomi.
Polinomio completo Un polinomio si dice completo,rispetto ad una lettera, se partendo dal grado più alto di quella lettera abbiamo tutti i gradi fino ad arrivare al grado \(0\).
Esempi svolti - \( a^3+2a^2-a+2 \) \( a^3+2a^2-a+2 \) \( a^3+2a^2-a+2 \) E' completo rispetto alla lettera \(a\), infatti abbiamo il grado \(3\), il grado \(2\), il grado \(1\) e il grado \(0\).
- \( a^3-a+2 \) Non è completo perchè manca il termine di grado \(2\).
Successivamente sarà fondamentale aggiungere il grado mancante inserendo come coefficiente 0. In questo polinomio manca il termine di grado \(2\). Si rimedia inserendo il termine di grado \(2\) $$ a^3+0a^2-a+2 $$
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