In matematica esistono due tipi di
uguaglianza:
- Identità: rappresenta una uguaglianza dove a sinistra abbiamo un qualcosa che coincide con quello che sta a destra del segno di uguaglianza. Ad esempio
$$ 2x+x=3x $$
- Equazione: rappresenta una uguaglianza dove bisogna calcolare il valore dell'incognita. A differenza dell'identità, l'equazione non si verifica sempre, dipende infatti dal valore che diamo all'incognita. Ad esempio
$$ 2x+x=1 $$
Principi di equivalenza
Il
primo principio di equivalenza ci dice che all'interno di una equazione è possibile
aggiungere o
sottrarre una stessa quantità a destra e a sinistra del segno di uguale.
Il
secondo principio di equivalenza ci dice che all'interno di una equazione è possibile
moltiplicare o
dividere una stessa quantità a destra e a sinistra del segno di uguale. Attenzione però perchè questa quantità deve necessariamente essere
diversa da zero.
Equazioni di primo grado
Una
equazione di primo grado è una equazione dove l'incognita compare con grado massimo pari ad
uno. Ad esempio
$$ x-1=0 $$
E' di primo grado perchè l'incognita \(x\) è con grado uno. Per risolvere una equazione di primo grado è sufficiente isolare l'incognita, cioè utilizzando i principi di equivalenza visti prima, è possibile
spostare tutti i termini senza l'incognita da una parte, ad esempio a destra, e i
termini noti, cioè i termini senza l'incognita, dall'altra parte.
Una volta fatto questo con una serie di passaggi algebrici siamo in grado ricavare il valore della \(x\).
Esempio 1
Risolvere la seguente equazione di primo grado
\( 2x-1=0 \)
Utilizzando il primo principio è possibile spostare il \(-1\) a destra, cambiandolo di segno
$$ 2x=+1 $$
Utilizzando il secondo principio è possibile dividere tutto per \(2\)
$$ x=\frac{1}{2} $$
La soluzione è proprio
\(\frac{1}{2}\), infatti sostituendo tale valore all'equazione otteniamo una identità.
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione di primo grado
\( 3x-1=2 \)
$$ 3x=2+1 $$
$$ \downarrow $$
$$ 3x=3 $$
$$ \downarrow $$
$$ x=\frac{3}{3}=1 $$
Equazioni di secondo grado
Una
equazione di secondo grado è una equazione dove l'incognita compare con grado massimo pari a
due. Questo tipo di equazioni si possono presentare sotto varie forme, quella
completa è la seguente
$$ ax^2+bx+c=0 $$
Dove \(a\),\(b\) e \(c\) sono numeri reali e in particolare \(c\) è diverso da zero, altrimenti non ci riferiamo più ad una equazione di secondo grado. Per risolvere questo tipo di equazioni è sufficiente applicare la
formula risolutiva delle equazioni di secondo grado
$$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt b^2-4ac}{2a} $$
Dove \(b^2-4ac\) rappresenta il
determinante o spesso chiamato anche
discriminanteindicato con il simbolo \(\Delta\).
Il ruolo del \(\Delta\) è fondamentale, in quanto in base al valore possiamo distinguere tre casi:
- \(\Delta>0\) : quando il valore del \(\Delta\) è positivo l'equazione ammette due soluzioni reali distinte;
- \(\Delta=0\) : quando il valore del \(\Delta\) è nullo l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti, cioè una sola soluzione con molteplicità pari a due;
- \(\Delta<{0}\) : quando il valore del \(\Delta\) è negativo l'equazione ammette due soluzioni complesse e coniugate , dunque non è possibile trovare soluzioni nei numeri reali.
Esempio 1
Risolvere la seguente equazione di secondo grado
\( x^2+5x+6=0 \)
Calcoliamo il determinante
$$ \Delta=b^2-4ac $$
$$ \downarrow $$
$$ \Delta=25-24=1 $$
Il \(Delta\) è venuto positivo, dunque troveremo due soluzioni reali e distinte. In particolare
$$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt b^2-4ac}{2a} $$
$$ \downarrow $$
$$ x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt 1}{2} $$
$$ \downarrow $$
$$ x_{1}=\frac{-5+1}{2}=-2 $$
$$ x_{2}=\frac{-5-1}{2}=-3 $$
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione di secondo grado
\( x^2-4x+4=0 \)
Calcoliamo il determinante
$$ \Delta=b^2-4ac $$
$$ \downarrow $$
$$ \Delta=16-16=0 $$
Il \(Delta\) è venuto nullo, dunque troveremo due soluzioni reali e coincidenti. In particolare
$$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt b^2-4ac}{2a} $$
$$ \downarrow $$
$$ x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt 0}{2} $$
$$ \downarrow $$
$$ x_{1}=x_{2}=\frac{4}{2}=2 $$
Esempio 3
Risolvere la seguente equazione di secondo grado
\( x^2+2x+2=0 \)
Calcoliamo il determinante
$$ \Delta=b^2-4ac $$
$$ \downarrow $$
$$ \Delta=4-8=-4 $$
Il \(Delta\) è venuto negativo, dunque troveremo due soluzioni complesse e coniugate. In sostanza ci possiamo tranquillamente fermare, in quanto in genere si cercano soluzioni reali.