Il paradosso delle tre carte è un classico problema del calcolo delle probabilità. Anche se semplice nasconde una risposta controintuitiva.
Abbiamo a disposizione tre carte con due lati:
Carta 1: ha entrambi i lati di colore rosso;
Carta 2: ha un lato di colore rosso e un lato di colore bianco;
Carta 3: ha entrambi i lati di colore bianco

Estraendo una carta, casualmente, e sapendo che il colore del lato visibile è rosso, qual'è la probabilità che il colore del lato non visibile sia rosso? La risposta intuitiva è 50%, visto che un lato può essere o rosso oppure bianco. Ovviamente la risposta è errata. La risposta esatta è circa 66%.
Per capire il perchè di questo risultato è utile studiare tutti i possibili casi che si possono verificare. Per comodità farò la distinzione tra lato visibile, cioè quello che si vede dopo l'estrazione, e lato non visibile. Visto che le carte sono tre e che i lati sono due, si possono verificare ben 6 casi, due per ogni carta e tutti con la stessa probabilità:

Caso 1 Carta 1: lato visibile rosso ,lato nascosto rosso;
Caso 2 Carta 1: lato visibile rosso ,lato nascosto rosso;
Caso 1 Carta 2: lato visibile rosso ,lato nascosto bianco;
Caso 2 Carta 2: lato visibile bianco ,lato nascosto rosso;
Caso 1 Carta 3: lato visibile bianco ,lato nascosto bianco;
Caso 2 Carta 3: lato visibile bianco ,lato nascosto bianco.

Noi sappiamo che quando viene estratta la carta il lato visibile è rosso, dunque i casi di interesse sono il primo, il secondo e il terzo. Abbiamo tre casi di interesse e solo due favorevoli. Dunque la probabilità è di \(\frac{2}{3}\), cioè 66%.

Risolviamo questo problema utilizzando questa volta un approccio più matematico. Noi sappiamo, a priori, che la parte visibile della carta è rossa, dunque è possibile utilizzare la cosidetta probabilità condizionata.
Definiamo probabilita' condizionata dell'evento A rispetto all'evento B , la probabilita' che si verifichi l'evento A dopo che si e' verificato l'evento B. Nel nostro esempio l'evento A corrisponde al rosso della parte non visibile, mentre l'evento B è il rosso della parte visibile.
La probabilità di A condizionata da B, indicata con \( P(A|B)\), è $$ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} $$ Il termine \(P(A\cap B) \) è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi. Prima abbiamo visto che esistono 6 casi e solo in 2 di questi i due eventi si verificano entrambi, cioè dove entrambi i lati sono rossi $$ P(A\cap B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $$ Il termine \(P(B)\) è la probabilità di avere come lato visibile il colore rosso. Ritornando ai 6 casi possibili solo in 3 di questi il lato visibile è rosso $$ P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$ Applicando la formula della probabilità condizionata avremo, in definitiva $$ P(A|B)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3} $$